有限元結(jié)點(diǎn)和單元的概念（什么是有限元）

鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計11-206.22 K閱讀0評論

本文目錄,1、,什么是有限元,2、,有限元分析為什么要進(jìn)行網(wǎng)格劃分,3、,一榀框架計算單元怎么確定,4、,獨(dú)立基礎(chǔ)怎么定義,在數(shù)學(xué)中，有限元法（FEM，F(xiàn)inite Element Method）是一種為求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值技術(shù),求解時對整個問題區(qū)域進(jìn)行分解，每個子區(qū)域都成為簡單的部分，這種簡單部分就稱作有限元,它通過變分方法，使得誤差函數(shù)達(dá)到最小值并產(chǎn)生穩(wěn)定解,類比于連接多段微小直線逼近圓的思想，有限元法包含了一切可能的方法，這些方法將許多被稱為有限元的小區(qū)域上的簡單方程聯(lián)系起來，并用其去估計更大區(qū)域上的復(fù)雜方程,它將求解域看

本文目錄

1、什么是有限元
2、有限元分析為什么要進(jìn)行網(wǎng)格劃分
3、一榀框架計算單元怎么確定
4、獨(dú)立基礎(chǔ)怎么定義

1、什么是有限元

在數(shù)學(xué)中，有限元法（FEM，F(xiàn)inite Element Method）是一種為求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值技術(shù)。求解時對整個問題區(qū)域進(jìn)行分解，每個子區(qū)域都成為簡單的部分，這種簡單部分就稱作有限元。
它通過變分方法，使得誤差函數(shù)達(dá)到最小值并產(chǎn)生穩(wěn)定解。類比于連接多段微小直線逼近圓的思想，有限元法包含了一切可能的方法，這些方法將許多被稱為有限元的小區(qū)域上的簡單方程聯(lián)系起來，并用其去估計更大區(qū)域上的復(fù)雜方程。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替。
由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。

2、有限元分析為什么要進(jìn)行網(wǎng)格劃分

是為了使模型變成有限元，劃分網(wǎng)格之后，單元節(jié)點(diǎn)的位移增量是有限元迭代過程中的基本未知量。有限元網(wǎng)格劃分是進(jìn)行有限元數(shù)值模擬分析至關(guān)重要的一步，它直接影響著后續(xù)數(shù)值計算分析結(jié)果的精確性。網(wǎng)格劃分涉及單元的形狀及其拓?fù)漕愋?、單元類型、網(wǎng)格生成器的選擇、網(wǎng)格的密度、單元的編號以及幾何體素。從幾何表達(dá)上講，梁和桿是相同的，從物理和數(shù)值求解上講則是有區(qū)別的。同理，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變情況設(shè)計的單元求解方程也不相同。在有限元數(shù)值求解中，單元的等效節(jié)點(diǎn)力、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等均用數(shù)值積分生成，連續(xù)體單元以及殼、板、梁單元的面內(nèi)均采用高斯（Gauss）積分，而殼、板、梁單元的厚度方向采用辛普生（Simpson）積分。辛普生積分點(diǎn)的間隔是一定的，沿厚度分成奇數(shù)積分點(diǎn)。由于不同單元的剛度矩陣不同，采用數(shù)值積分的求解不同，因此實(shí)際應(yīng)用中，一定要采用合理的單元來模擬求解。